\((ac+bd).(bc+ad)=0\)

\(\Leftrightarrow abc^2+a^2cd+b^2cd+abd^2=0\)

\(\Leftrightarrow ab.\left(c^2+d^2\right)+cd.\left(a^2+b^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow ab+cd=0\left(đpcm\right)\)

(ac+bd)(bc+ad)=0

<=>abc² a²cd+b²cd+abd²=0

<=>ab(c²⁺d²)+cd(a²+b²)=0

<=>ab+cd=0

dở nâng cao và phát triểm toán tập 1

đặt a=bk;c=dk

ta có:\(\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}=\frac{\left(bk\right)^2-b^2}{\left(dk\right)^2-d^2}=\frac{b^2\times k^2-b^2}{d^2\times k^2-d^2}=\frac{b^2\times\left(k^2-1\right)}{d^2\times\left(k^2-1\right)}=\frac{b^2}{d^2}\) (thêm dấu giá trị tuyệt đối đến hếtvế này)

ta có: \(\frac{ab}{cd}=\frac{bk\times b}{dk\times d}=\frac{b\times\left(k-1\right)}{d\times\left(k-1\right)}=\frac{b}{d}\)

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=1\)

Bài 2:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge4\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2}=4\) (1)

\(ab+cd\ge2\sqrt{abcd}=2\) (2)

\(ac+bd\ge2\sqrt{acbd}=2\) (3)

\(ad+bc\ge2\sqrt{adbc}=2\) (4)

Cộng theo vế của (1),(2),(3),(4) ta có điều phải chứng minh

Dấu "=" khi \(\begin{cases}a=b=c=d\\abcd=1\end{cases}\)\(\Rightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)

1) \(x+\frac{1}{x}\ge2\left(1\right)\)

<=> \(\frac{x^2+1}{x}\ge2\)

<=> x² + 1 \(\ge\)2x

<=> x² + 1 - 2x \(\ge\) 0

<=> (x - 1)² \(\ge\)0 (2)

Bđt (2) đúng vậy bđt (1) được chứng minh

b) Áp dụng bđt AM-GM cho 10 số dương ta có:

a²+b²+c²+d²+ab+ac+ad+bc+bd+cd

\(\ge10\sqrt[10]{a^2.b^2.c^2.d^2.ab.ac.ad.bc.bd.cd}=10\sqrt[10]{\left(a.b.c.d\right)^5}\)

\(=10\sqrt[10]{1}=10\left(đpcm\right)\)

Ta đã biết:

\(ad=bc\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) (1)

Theo (1) có: \(ad< bc\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)

Chứng minh tương tự với trường hợp ngược lại, có \(\frac{a}{b}>\frac{c}{d}\)

sai hoan toan